Question

【题目】在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；

（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的长分别为或3．

【解析】

（1）由比例中项知 ，据此可证 得，再证明 可得答案；

（2）先证 ，结合 ，得 ，从而知 ，据此可得 ，由（1）得，据此知 ，求得 ；

（3）分 和 两种情况分别求解可得．

（1）证明：∵是和的比例中项

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

（2）解：∵与互相垂直

∴

∵

∴

∴

由（1）得

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴

由（1）得

∴

∴

∴

∵

∴

∴

（3）∵，

又，由（1）得

∴

当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时

1) ，如图

∴

由（2）得：

2），如图

过点作，垂足为点

由（1）得

∴

∴又

设，则，，

又

∴，解得

∴

综上所述，的长分别为或3．