Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线过点B。

（1）若a＝－l，且抛物线与矩形有且只有三个交点B、D、E，求△ BDE的面积S的最大值；

（2）若抛物线与矩形有且只有三个交点B、M、N，线段MN的垂直平分线l过点C，交线段OA于点F。当AF＝1时，求抛物线的解析式。

Answer 1

（1）∵a＝－l，∴。

又∵抛物线过点B(6，3)，∴，即。

∴

如图① ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、OC边上时， 抛物线与ｙ轴的交点应落在原点或原点下方。

∴　当x＝0时，y≤0。

∴，即。

由抛物线的对称性可知： 。

 又∵ △ BDE的高＝BC＝3，∴ S＝。

∵ ＞0，∴ S随b的增大而减少。

∴ 当b＝时，S的最大值＝。

如图② ，当抛物线与矩形的两个交点D、E分别在AB、AO边上时，抛物线与直线x＝0的交点应落在线段AO上且不与点A重合，即0≤＜3。

当x＝0，则，∴ 0≤＜3，∴ 。

∴ AE＝。

∴ S＝BD·AE＝。

∵ ＜0，∴ S随b的增大而增大。

∴ 当b＝时，S的最大值＝。

综上所述：S的最大值为。

（2）当a＞0时，符合题意要求的抛物线不存在。

               　　 当a＜0时，符合题意要求的抛物线有两种情况：

① 当点M、N分别在AB、OC边上时．

如图③ ,过M点作MG⊥ OC于点G，连接CM，

                　　∴ MG＝OA＝3．∠2＋∠ MNＧ＝90°。

              　　  ∵ CF垂直平分MN．

∴ CM＝ＣN，∠1＋∠ MNＧ=90°，∠ 1＝∠ 2。

               　　 ∵　AF＝1，OF＝3－1＝2。

                　　∴　，。

∴　GN＝GM＝1。

设N(n，0)，则G(n＋1，0)，∴　M(n＋1，3)。 ∴　BM＝，CM＝CN＝。

在Rt△BCM中，，

                　　∴ ，解得n＝1。∴　M(2，3)，N(1，0)。

把M(2，3)，N(1，0)，B(6，3)分别代入，得

，解得。

∴抛物线的解析式为。

设N(0，n)．则FN＝2－n，AN＝3一n。∴MF＝2－n，AM＝。

在Rt△MABF中，∵，∴。

解得： (不合题意舍去)，∴。

∴AM＝，∴　M(，3)，N(0，) 。

把M(，3)，N(0，)， B(6，3)分别代入，得

，解得　。

∴抛物线的解析式为。

综上所述，抛物线的解析式为或。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。