Question

 如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点。

（1）求抛物线的解析式；

（2）把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴负半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）∵抛物线关于直线x=1对称，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。

                ∴可设抛物线的解析式为。

          ∵点D在抛物线上，∴，解得。

          ∴抛物线的解析式为，即。

  

（2）∵，

∴把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为。

假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＜0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM₁、NN_1，垂足分别为M₁、N₁，

∵∠MPO=∠NPO，∴Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁。

∴………①。

不妨设M(x_M,y_M)在点N(x_N,y_N)的左侧，

因为P点在y轴负半轴上，则①式变为。

又∵，

∴………②。

把代入中，整理得。

∴，代入②得，解得，符合条件。

∴在y轴负半轴上存在一点P（0，），使直线PM与PN总是关于y轴对称。

【考点】二次函数综合题，平移和轴对称问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系。