Question

14．若a+b+c=0，a²+b²+c²=1，a⁴+b⁴+c⁴=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 要想求a⁴+b⁴+c⁴的值，只需要根据a+b+c=0，a²+b²+c²=1，两边平方，然后整理即可建立与a⁴+b⁴+c⁴的关系，从而可以解答本题．

解答 解：∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）²=0，
即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=0，
∵a²+b²+c²=1，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1+2ab+2bc+2ac=0，
即$ab+bc+ac=-\frac{1}{2}$，
∴$（ab+bc+ac）^{2}=\frac{1}{4}$，
即a²b²+b²c²+a²c²+2ab²c+2abc²+2a²bc=$\frac{1}{4}$，
∴a²b²+b²c²+a²c²+2abc（b+c+a）=a²b²+b²c²+a²c²+2×0=a²b²+b²c²+a²c²=$\frac{1}{4}$，
∵（a²+b²+c²）²=1²，
即a⁴+b⁴+c⁴+2a²b²+2b²c²+2a²c²=1，
∴a⁴+b⁴+c⁴=1-2a²b²-2b²c²-2a²c²=1-2（a²b²+b²c²+a²c²）=1-$2×\frac{1}{4}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查完全平方公式，解题的关键是灵活变化，对题目中的式子整理建立与所求式子的关系，需要注意的是变形过程中一定要仔细认真．