【题目】如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心,经过A,C两点且与BC边交于点E,点D为CE的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F,若AB=BF.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若CF=4,DF=,求⊙O的半径r及sinB.
【答案】(1)证明见解析;(2)r=3,sinB=.
【解析】试题分析:(1)连接OA、OD,如图,根据垂径定理得OD⊥BC,则∠D+∠OFD=90°,再由AB=BF,OA=OD得到∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,加上∠BFA=∠OFD,所以∠OAD+∠BAF=90°,则OA⊥AB,然后根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O切线;
(2)先表示出OF=4﹣r,OD=r,在Rt△DOF中利用勾股定理建立方程,解方程得到r的值,那么OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.
然后在Rt△AOB中利用勾股定理,得到AB的值,再根据三角函数定义求出sinB.
试题解析:(1)证明:连接OA、OD,如图,∵点D为CE的下半圆弧的中点,∴OD⊥BC,∴∠EOD=90°,∵AB=BF,OA=OD,∴∠BAF=∠BFA,∠OAD=∠D,而∠BFA=∠OFD,∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°,即∠OAB=90°,∴OA⊥AB,∴AB是⊙O切线;
(2)解:OF=CF﹣OC=4﹣r,OD=r,DF=,在Rt△DOF中,
,即
,解得:r=3或r=1(舍去);∴半径r=3,∴OA=3,OF=CF﹣OC=4﹣3=1,BO=BF+FO=AB+1.在Rt△AOB中,
,∴
,∴AB=4,OB=5,∴sinB=
=
.
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【题目】春节期间,某商场计划购进甲、乙两种商品,已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元;购进甲商品3件和乙商品2件共需230元
(1) 求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元?
(2) 商场决定甲商品以每件40元出售,乙商品以每件90元出售,为满足市场需求,需购进甲、乙两种商品共100件,且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍,请你求出获利最大的进货方案,并确定最大利润
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【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,点H是BC边的中点,连接DH,交BE于点G,连接CG.
(1)求证:△ADC≌△FDB;
(2)求证:CE= BF;
(3)判断△ECG的形状,并证明你的结论;
(4)猜想BG与CE的数量关系,并证明你的结论.
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【题目】八年级(1)班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后,利用课外活动时间积极参加体育锻炼,每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练,训练后都进行了测试.现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图.
请你根据上面提供的信息回答下列问题:
(1)扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度,该班共有学生 人,训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 .
(2)老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试,请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率.
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【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是AB,BC边上的中点,连结EF.若EF=2 ,BD=8,则菱形ABCD的周长为( )
A.8
B.8
C.16
D.8
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