Question

把圆分成n（n≥3）等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，⊙O的半径是R，分别求它的外切正三角形，外切正方形，外切六边形的边长．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：标注字母，外切正三角形时，求出∠AOD=60°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB=2AD计算即可得解；
外切正方形时，求出∠AOD=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AD=OD，再根据边长AB=2AD计算即可得解；
外切六边形时，求出∠AOD=30°，然后解直角三角形求出AD，再根据边长AB=2AD计算即可得解．

解答：解：如图，外切正三角形时，∠AOD=360°÷6=60°，
所以，AD=OD•tan60°=R•

3

=

3

R，
所以，外切正三角形边长AB=2AD=2

3

R；
外切正方形时，∠AOD=360°÷8=45°，
所以，△AOD是等腰直角三角形，
所以，AD=OD，
外切正方形的边长AB=2AD=2R；
外切六边形时，∠AOD=360°÷12=30°，
所以，AD=OD•tan30°=

3

3

R，
所以，外切六边形的边长AB=2AD=

2 3

3

R．

点评：本题考查了正多边形和圆，主要利用了解直角三角形，熟记正多边形的性质并求出切点与相邻的顶点所对的圆心角的度数是解题的关键．