Question

【题目】已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B（1，0）和点C（9，0）两点，与y轴的负半轴相交于A点，过A、B、C三点的⊙P与y轴相切于点A，M为y轴正半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D，交抛物线于点N．

（1）求点A坐标和⊙P的半径；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当△MOB与以点B、C、D为顶点的三角形相似时，求△CDN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1所示：过点P作PE⊥BC，垂足为E．

∵PE⊥BC，

∴BE=EC=4．

∴OE=5．

∵⊙P与y轴相切，

∴PA⊥y轴．

∵∠PAO=∠AOE=∠OEP=90°，

∴四边形AOEP为矩形．

∴AP=OE=5，AO=EP．

∴⊙P的半径为5．

在Rt△BEP中，PE= = =3．

∴OA=3．

∴点A的坐标为（0，﹣3）

（2）

解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣9），将点A的坐标代入得：9a=﹣3，解得a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ x2 x﹣3

（3）

解：如图2所示：当直线MB经过点P时．

∵BD为⊙P的直径，

∴∠BCD=90°．

∴∠BCD=∠MOB=90°．

又∵∠MBO=∠CBD，

∴△MOB∽△DCB．

设MB的解析式为y=kx+b，将点B和点D的坐标代入得 ，解得：k=﹣ ，b= ．

∴直线MB的解析式为y=﹣ x+ ．

将x=9代入得y=﹣6．

∴CD=6．

将y=﹣ x+ 与y=﹣ x2 x﹣3联立解得：x=1或x= ．

△CDN的面积= DC（xN﹣xD）= ×6× =

【解析】（1）过点P作PE⊥BC，垂足为E，连结AP．依据垂径定理可知BE=EC=4则OE=5，然后再证明四边形AOEP为矩形可求得到AP=OE=5，在Rt△BEP中，依据勾股定理可求得PE的长；（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣9），将点A的坐标代入求解即可；（3）△MOB为直角三角形，则△BDC为直角三角形，故此只存在∠BCD为直角的情况，则MB经过点P，然后求得MB的解析式，将直线BM的解析式与抛物线的解析式组成方程组可求得点N的坐标，然后依据CD∥y轴可求得点CD的长，最后依据△CDN的面积= DC（xN﹣xD）求解即可．