Question

18．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点（-1，-2$\sqrt{2}$），点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP．
（1）k的值为2$\sqrt{2}$．
（2）在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是（2，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）把点（-1，-2$\sqrt{2}$）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，求出k即可；
（2）连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，则AM∥CN，∠AMO=∠ONC=90°，先由AAS证明△OAM≌△CON，得出OM=CN，AM=ON，再由三角形的角平分线性质得出$\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，根据平行线的性质得出比例式：$\frac{AM}{CN}=\frac{AP}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，设CN=OM=x，则AM=ON=$\sqrt{2}$x，根据题意得出方程：x•$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{2}$，解方程求出CN、ON，即可得出点C的坐标．

解答 解：（1）把点（-1，-2$\sqrt{2}$）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$得：
k=-1×（-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$，
故答案为：2$\sqrt{2}$；
（2）连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，如图所示：
则AM∥CN，∠AMO=∠ONC=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
根据题意得：点A和点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC是等腰直角三角形，AB为斜边，
∴OC⊥AB（三线合一），OC=$\frac{1}{2}$AB=OA，AC=BC，AB=$\sqrt{2}$BC，
∴∠AOC=90°，
即∠AOM+∠CON=90°，
∴∠OAM=∠CON，
在△OAM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMO=∠ONC}&{\;}\\{∠OAM=∠CON}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△CON（AAS），
∴OM=CN，AM=ON，
∵BP平分∠ABC，
∴$\frac{AP}{CP}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，
∵AM∥CN，
∴$\frac{AM}{CN}=\frac{AP}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$，
设CN=OM=x，则AM=ON=$\sqrt{2}$x，
∵点A在反比例函数y=$\frac{2\sqrt{2}}{x}$上，
∴OM•AM=2$\sqrt{2}$，
即x•$\sqrt{2}$x=2$\sqrt{2}$，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴CN=$\sqrt{2}$，ON=2，
∴点C的坐标为：（2，-$\sqrt{2}$）；
故答案为：：（2，-$\sqrt{2}$）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线性质、平行线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用三角形的角平分线的性质才能得出结果．