Question

20．如图，CD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，且DE∥AC，FE∥AB．
（1）求证：CE=AF；
（2）若∠ACB=60°，CD=6，求四边形ADEF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形ADEF是平行四边形，得到AF=DE，然后再证明DE=EC，从而可得到AF=EC；
（2）过点D作DG⊥AC，过点E作EH⊥DC．解直角三角形△DCG和△HCE，求得DG和EC的长，从而可求得四边形的面积．

解答 证明：（1）∵DE∥AC，FE∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AF=DE．
∵DE∥AC，
∴∠ACD=∠CDE．
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD=∠DCB．
∴∠CDE=∠DCB．
∴DE=EC．
∴AF=EC．
解：（2）如图所示，过点D作DG⊥AC，过点E作EH⊥DC．

∵∠ACB=60°，CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=$\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×60°=30°$．
∵DG⊥AC，
∴∠CGD=90°．
在△DCG中，∠CGD=90°，∠ACD=30°
∴DG=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×6=3$．
∵DE=EC，EH⊥DC，
∴HC=DH=3．
在Rt△HCE中，∠HCE=30°，
∴$\frac{HC}{EC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{3}{EC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴EC=2$\sqrt{3}$．
∴平行四边形ADEF的面积=DE•DG=3×$2\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是平行四边形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、含30度直角三角形的性质，求得DG和EC的长是解题的关键．