Question

1．已知PA、PB切圆O于A、B两点，过P作割线，交圆O于C、D，过B作BE∥CD，连结AE交PD于M，求证：M为DC的中点．

Answer 1

分析 连接OP，AB，OA，OM，OE，作OH⊥AE于点H，由平行线的性质和圆周角定理可得∠4=∠2=∠3，由切线的性质可得PO⊥AB，易得∠OPM=∠MAO，可得P，O，M，A四点共圆，由圆周角定理可得∠PMO=90°，由垂径定理得CM=DM，得出结论．

解答 证明：连接OP，AB，OA，OM，OE，作OH⊥AE于点H，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠2，∠1=∠4，
∵$∠3=\frac{1}{2}∠AOE$，$∠1=\frac{1}{2}∠AOE$，
∴∠1=∠3，
∴∠4=∠2=∠3，
∵PA，PB是⊙O的切线，
△PAB为等腰三角形，∠APO=∠BPO，
∴PO⊥AB，
∵OH⊥AE，
∴∠OPM=∠MAO，
∴P，O，M，A四点共圆，
∵OA⊥PA，
∴PO为直径，
∴∠PMO=90°，即OM⊥CD，
∴CM=DM，
即M为CD的中点．

点评 本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四点共圆，垂径定理，作出适当的辅助线，运用四点共圆，垂径定理是解答此题的关键．