Question

7．四边形ABCD中，AD=5$\sqrt{2}$，BC=6，连接AC，BD，AC⊥BC，BD⊥AD，∠DCA=45°．求AB的长及△DCB面积．

Answer 1

分析 先作CE⊥BD交BD于点E，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，由AC⊥BC，BD⊥AD，可得A、B、C、D四点共圆，进而得出∠ABD=∠DCA=45°，由AD=BD，可求出AB的值，利用勾股定理得出AC的值，利用RT_△AFC可得CF的值，在RT_△AFD中可得DF的值，由CD=CF-DF，可得CD的值，利用∠BAC=∠BDC，可得CE的值，由S_△DCB=$\frac{1}{2}$BD•CE即可求出△DCB面积．

解答 解：如图，作CE⊥BD交BD于点E，作AF⊥CD交CD的延长线于点F，

∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABD=∠DCA=45°，
∵AD=BD=5$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{2}$AD=10，
∵BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠DCA=45°，∠AFC=90°，
∴CF=AF=4$\sqrt{2}$，
∵AD=5$\sqrt{2}$，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴CD=CF-DF=$\sqrt{2}$，
∵sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，∠BAC=∠BDC，
∴$\frac{CE}{CD}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{CE}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得CE=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴S_△DCB=$\frac{1}{2}$BD•CE=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{5}$=3．

点评 本题主要考查了四点共圆，涉及四点共圆的判定，勾股定理，直角三角形，正弦等知识，解题的关键是正确的作出辅助线，得出CD的值．