Question

18．已知：如图所示，求BC、tanB．

Answer 1

分析 过点A、B分别作AE⊥BC，BD⊥AC，垂足分别为E，D，根据直角三角形的性质，得出AD，再由勾股定理得出BC，利用三角形的面积得出AE，再利用勾股定理得出BE，在直角三角形ABE中求得tanB．

解答 解：过点A、B分别作AE⊥BC，BD⊥AC，垂足分别为E，D，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=30°，
∵AB=3，
∴AD=1.5，BD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴CD=6.5，
∵BD²+CD²=BC²，
∴BC=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{13}{2}）^{2}}$=$\frac{14}{2}$=7，
∵CD•BD=AD•BD+BC•AE，
∴$\frac{13}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$×$\frac{3\sqrt{3}}{2}$+7AE，
∴AE=$\frac{15\sqrt{3}}{14}$，
∵AE²+BE²=AB²，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{9-\frac{225×3}{196}}$=$\frac{33}{14}$，
∴tanB=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{15\sqrt{3}}{14}$×$\frac{14}{33}$=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$．

点评 本题考查了解直角三角形，正确的作出辅助线，求得AE和BE是解题的关键．