Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.

(1)求证：DE＝DF.

(2)问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，那么它们还相等吗？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析

【解析】试题分析：（1）D是BC的中点，那么AD就是等腰三角形ABC底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么DE=DF．

（2）由（1）知，∠DAE＝∠DAF，∠ADB＝∠ADC＝90°，由角平分线定义知∠ADE=∠ADF，再由ASA证明△ADE与△ADF全等，即可得证.

试题解析：（1）∵D是BC的中点，AB＝AC，

∴AD是等腰三角形ABC的角平分线，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

（2）相等．理由如下：

由（1）知AD⊥BC，∠DAE＝∠DAF，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分线，

∴∠ADE＝∠ADB，∠ADF＝∠ADC，

∴∠ADE＝∠ADF.

在△ADE和△ADF中， ，

∴△ADE≌△ADF(ASA)．

∴DE＝DF.