Question

6．如图，正方形ABCD的边长为1，AB边与直线l重合，沿AB边的中垂线将正方形剪开，剪开后的右侧部分以B为中心，顺时针旋转90°得到BP₁为边的新矩形，我们称之为第1次操作，沿BP₁边的中垂线将矩形剪开，再将剪开后的右侧部分以P₁为中心顺时针旋转90°，得到P₁P₂为边的正方形，我们称之为第2次操作…按此规律继续操作下去，AP₂₀₁₅的长是$\frac{{2}^{1008}-1}{{2}^{1006}}$．

Answer 1

分析 根据旋转的性质和矩形的性质易得AB=1，BP₁=1，P₁P₂=$\frac{1}{2}$，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，P₃P₄=（$\frac{1}{2}$）²，P₄P₅=（$\frac{1}{2}$）²，P₅P₆=（$\frac{1}{2}$）³，P₆P₇=（$\frac{1}{2}$）³，根据P的脚标数与$\frac{1}{2}$的指数的关系易得P₂₀₁₃P₂₀₁₄=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₄P₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，所以AP₂₀₁₅=3+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，接着利用方程的思想计算出$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶=1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，则AP₂₀₁₅=4-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶．

解答 解：AB=1，BP₁=1，
P₁P₂=$\frac{1}{2}$，P₂P₃=$\frac{1}{2}$，
P₃P₄=（$\frac{1}{2}$）²，P₄P₅=（$\frac{1}{2}$）²，
P₅P₆=（$\frac{1}{2}$）³，P₆P₇=（$\frac{1}{2}$）³，
…
P₂₀₁₃P₂₀₁₄=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，P₂₀₁₄P₂₀₁₅=（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷，
所以AP₂₀₁₅=2×1+2[$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁷]=3+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，
设$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶=S，
则1+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁵=2S，
所以S=1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶，
所以AP₂₀₁₅=3+1-（$\frac{1}{2}$）¹⁰⁰⁶=$\frac{{2}^{1008}-1}{{2}^{1006}}$．
故答案为=$\frac{{2}^{1008}-1}{{2}^{1006}}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查通过从特殊到一般解决规律型问题．