Question

（本题满分10分）已知：如图，矩形ABCD中，CD＝2，AD＝3，以C点为圆心，作一个动圆，与线段AD交于点P（P和A、D不重合），过P作⊙C的切线交线段AB于F点．

（1）求证：△CDP∽△PAF；

（2）设DP＝x，AF＝y，求y关于x的函数关系式，及自变量x的取值范围；

（3）是否存在这样的点P，使△APF沿PF翻折后，点A落在BC上，请说明理由．

 

Answer 1

（2）y＝（0＜x＜3）（3）不存在符合要求的点P

【解析】

试题分析：（1） 由EP与⊙C相切，所以∠CPF=90°，∠APF+∠DPF=90°．因为∠D=90°，所以∠DCF+∠DPF=90°．∠APF=∠DCP, 通过两角对应相等，可得△AFP∽△DPC；

（2）由（1）可得△AFP∽△DPC，所以．又因为PD=x, AF=y，AP=3-x,CD＝2，所以（0<x<3）；

（3）不存在．通过证明四边形APCA1是平行四边形，所以PD=BA1，在Rt△A1BF中，Y2=（2-y）2+x2，所以4-4y+x2=0．将y＝代入方程，整理后判断△<0，所以符合题意的P点不存在．

试题解析：（1）∵PF切⊙C于点P，

∴CP⊥PF

∴∠1＋∠2＝90º，

而矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90º，

∴∠2＋∠3＝90º，

∴∠1＝∠3，

∴△CDP∽△PAF

（2）由（1）得，

即，整理可得，y＝（0＜x＜3）

（3）假设点A的落点为A’，则AA’⊥PF，AF＝A’F

∴AA’∥PC，得□AA’CP，则A’B＝DP

在Rt△A’BF中，x2＋（2－y）2＝y2，

即3x2-6x+4=0，因为△<0，该方程无实数根，不存在符合要求的点

考点：切线的性质，相似三角形，二次函数，一元二次方程的根的判别式