Question

【题目】我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD（图2）中，取对角线BD的中点O，连接OA、OC．得折线AOC，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为四边形ABCD的一条“好线”．

（1）如图，试说明中线AD平分△ABC的面积；

（2）如图，请你探究四边形ABCO的面积和四边形ABCD面积的关系，并说明理由；

（3）在上图中，请你说明直线AE是四边形ABCD的一条“好线”；

（4）如图，若AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出四边形ABCD经过F点的“好线”，并对你的画图作适当说明．

Answer 1

【答案】（1）三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形

（2）关系：

（3）AE是四边形ABCD的一条“好线”．

（4）GF为一条“好线”

【解析】试题分析：（1） ABD和 ACD是等底同高的两个三角形，故面积相等；（2）由（1）知，S△AOB=S△AOD, S△BOC=S△DOC,故（3）设AE与OC的交点是F．要说明直线AE是“好线”，根据已知条件中的折线AOC能平分四边形ABCD的面积，只需说明三角形AOF的面积等于三角形CEF的面积．则根据两条平行线间的距离相等，结合三角形的面积个数可以证明三角形AOE的面积等于三角形COE的面积，再根据等式的性质即可证明；
（4）根据两条平行线间的距离相等，只需借助平行线即可作出过点F的“好线”;

试题解析：

（1）在△ABC中,AD是中线,则BD=CD.△ABD和△ADC的底边相等.高相等,都是从A点向BC边所作的垂线段.

由三角形的面积公式, ,

可知三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形

（2）关系：

由（1）知，S△AOB=S△AOD, S△BOC=S△DOC,

∴

∴

（3）∵OE∥AC，

∴ S△AOE=S△COE，

∵S△AOF=S△CEF，

又因为（2）知，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，

∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．

（4）连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．

∵AG∥EF，

∴S△AGE=S△AFG．

设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE，

又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”