Question

【题目】在一次课题学习中活动中,老师提出了如下一个问题:

点P是正方形ABCD内的一点,过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N,使点P是线段MN的三等分点,这样的直线能够画几条?

经过思考,甲同学给出如下画法:

如图1,过点P画PE⊥AB于E,在EB上取点M,使EM=2EA,画直线MP交AD于N,则直线MN就是符合条件的直线l.

根据以上信息,解决下列问题:

(1)甲同学的画法是否正确?请说明理由.

(2)在图1中,能否画出符合题目条件的直线?如果能,请直接在图1中画出.

(3)如图2,A1、C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点,且A1C1∥AD.当点P在线段A1C1上时,能否画出符合题目条件的直线?如果能,可以画出几条?

(4)如图3,正方形ABCD边界上的A1、A2、B1、B2、C1、C2、D1、D2都是所在边的三等分点.当点P在正方形ABCD内的不同位置时,试讨论,符合题目条件的直线l的条数的情况.

Answer 1

【答案】(1)甲同学的画法正确，理由见解析；(2)能画出一个符合题目条件的直线,图1；(3)若点P在线段A1C1上,能够画出符合题目条件的直线无数条,图2；(4) 见解析.

【解析】

（1）利用△MPE∽△MNA中的成比例线段可知EM=2EA，所以MP：MN=2：3，即点P是线段MN的一个三等分点；

（2）由（1）中的证明过程可知，在EB上取M1，使EM1=AE，直线M1P就是满足条件的直线，所以能画出一条符合题目条件的直线；

（3）当点P在线段A1C1上，根据正方形的性质可知能够画出符合题目条件的直线有无数条；

（4）分情况讨论．

(1)甲同学的画法正确.

∵PE∥AD，

∴△MPE～△MNA，

∴，

∵EM=2EA，

∴MP:MN=2:3，

∴点P是线段MN的一个三等分点；

(2)能画出一个符合题目条件的直线，在EB上取M1，使EM1=AE，直线M1P就是满足条件的直线，如图1；

(3)若点P在线段A1C1上，能够画出符合题目条件的直线无数条，如图2；

(4)若点P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上时，可以画出无数条符合条件的直线l；

当点P在正方形A0B0C0D0内部时，不存在这样的直线l，使得点P是线段MN的三等分点；

当点P在矩形ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C0内部时，过点P可画出两条符合条件的直线l，使得点P是线段MN的三等分点.