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    1．如图①，在平行四边形ABCD中，AB=4$\sqrt{2}$，AD=10，∠ABC=135°，E为BC上一点，BE=3，F为CB延长线上一点，BF=2，连接DF、DE，动点P、M在线段FC上，点M在点P的右边，PM=2，以PM为直角边，∠PMG=90°，在直线FC的上方作等腰直角三角形PMG，若点P从点F出发，以每秒一个单位的速度沿FC向点E匀速运动，同时点Q从点D出发，以每秒一个单位的速度沿DA向点A匀速运动，当点P到达点E时，△PMG与点Q同时停止运动，设运动时间为t秒．
    （1）在整个运动过程中，当点G在线段DE上时，求t的值；
    （2）在整个运动过程中，设△PMG和△DEF的重叠部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围；
    （3）若点R是点P关于直线MG的对称点，直线GR交线段DF于点N，如图②，在整个运动过程中，是否存在点Q，使△QRN是直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）作DH⊥BC，根据已知条件求得DH=HC=4，进而得出FH=8，然后根据GM∥DH，得出∴$\frac{FM}{FH}$=$\frac{GM}{DH}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{t+2}{8}$，即可求得t的值；
    （2）分四种情况分别讨论求得即可；
    （3）作NK⊥BC，根据NK∥DH，得出$\frac{NK}{DH}$=$\frac{FK}{FH}$，设NK=KR=x，则FK=t+4-x，则$\frac{x}{4}$=$\frac{t+4-x}{8}$，求得x=$\frac{t+4}{3}$，得出FK=$\frac{2}{3}$（t+4），于AD∥CF，得出∠F=∠QDN，所以有两种情况的直角三角形，然后分别讨论求得即可．

    解答 解：（1）如图1，点G在线段DE上时，FP=t，FM=t+2，
    作DH⊥BC，
    ∵在平行四边形ABCD中，∠ABC=135°，
    ∴∠C=45°，
    ∴△DHC是等腰直角三角形，
    ∵DC=AB=4$\sqrt{2}$，
    ∴DH=HC=4，
    ∵BC=AD=10，BF=2，
    ∴FC=12，
    ∴FH=8，
    ∵GM∥DH，
    ∴$\frac{FM}{FH}$=$\frac{GM}{DH}$，即$\frac{2}{4}$=$\frac{t+2}{8}$，
    解得t=2；
    （2）①当0≤t＜2时，如图2，
    作KN⊥BC于N，
    ∵DH⊥BC，
    ∴KN∥DH，
    ∴$\frac{KN}{DH}$=$\frac{FB}{FH}$，
    设KN=PN=x，则FN=t+x，
    ∴$\frac{x}{4}$=$\frac{x+t}{8}$，
    ∴x=t，
    ∴KN=PN=t，
    ∴FN=2t，
    ∴MN=t+2-2t=2-t，
    ∵KN∥GM，
    ∴$\frac{KN}{MS}$=$\frac{FN}{FM}$，即$\frac{t}{MS}$=$\frac{2t}{t+2}$，
    ∴MS=$\frac{t+2}{2}$，
    ∴GS=2-$\frac{t+2}{2}$=$\frac{2-t}{2}$，
    ∴S=S△PMG-S△KGS=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×$\frac{2-t}{2}$×（2-t）=-$\frac{1}{4}$t2+t+1（0＜t＜2）；
    ②当2≤t≤3时，如图1，S=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
    ③当3＜t≤4.5时，如图3，
    ∵FM=t+2，EF=3+2=5，EH=10-3-4=3，
    ∴EM=t+2-5=t-3，
    ∵GM∥DH，
    ∴$\frac{WM}{DH}$=$\frac{EM}{EH}$，即$\frac{WM}{4}$=$\frac{t-3}{3}$，
    ∴WM=$\frac{4}{3}$（t-3），
    ∴S=S△PMG-S△EMW=2-$\frac{1}{2}$（t-3）×$\frac{4}{3}$（t-3）=-$\frac{2}{3}$t2+4t-4；
    ④当4.5＜t≤5时，如图4，作VL⊥BC，则△PVL是等腰直角三角形，
    ∴VL=PL，
    设PL=VL=x，则EL=t+x-5
    ∵VL∥DH，
    ∴$\frac{VL}{DH}$=$\frac{EL}{EH}$，
    ∴$\frac{x}{4}$=$\frac{t+x-5}{3}$，
    ∴x=20-4t，
    ∴VL=20-4t，
    ∵PE=5-t，
    ∴S=$\frac{1}{2}$PE•VL=$\frac{1}{2}$（5-t）（20-4t）=2t2-20t+50
    综上，S与t之间的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+t+1（0≤t＜2）}\\{2（2≤t≤3）}\\{-\frac{2}{3}{t}^{2}+4t-4（3＜t≤4.5）}\\{2{t}^{2}-20t+50（4.5＜t≤5）}\end{array}\right.$；
    （3）如图5，作NK⊥BC，
    ∴NK∥DH，
    ∴$\frac{NK}{DH}$=$\frac{FK}{FH}$，
    ∵PF=t，PM=MR=2，
    ∴FR=t+4，
    设NK=KR=x，则FK=t+4-x，
    ∵FH=8，DH=4，
    ∴$\frac{x}{4}$=$\frac{t+4-x}{8}$，
    ∴x=$\frac{t+4}{3}$，
    ∴FK=$\frac{2}{3}$（t+4），
    ∵AD∥CF，
    ∴∠F=∠QDN，
    ①当∠DQN=90°时，Q、N、K三点共线，
    ∴QN=DH-NK=4-$\frac{t+4}{3}$=$\frac{8-t}{3}$，
    ∴△KFN∽△QDN，
    ∴$\frac{DQ}{FK}$=$\frac{QN}{NK}$，
    ∵FK=t+4-$\frac{t+4}{3}$=$\frac{2t+8}{3}$，
    ∴$\frac{t}{\frac{2t+8}{3}}$=$\frac{\frac{8-t}{3}}{\frac{t+4}{3}}$，解得t=$\frac{16}{5}$，
    ②当∠DNQ=90°时，
    ∴△KFN∽△NDQ，
    ∴$\frac{DQ}{FN}$=$\frac{DN}{FK}$，
    ∵FH=8，DH=4，
    ∴FD=4$\sqrt{5}$
    ∵NK∥DH，
    ∴$\frac{FN}{FD}$=$\frac{NK}{DH}$，
    ∴$\frac{FN}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\frac{t+4}{3}}{4}$，
    ∴FN=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（t+4），
    ∴DN=4$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{3}$（t+4）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（8-t），
    ∴$\frac{t}{\frac{\sqrt{5}}{3}（t+4）}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}（8-t）}{\frac{2}{3}（t+4）}$
    解得t=$\frac{40}{11}$，
    综上，在整个运动过程中，存在点Q，使△QRN是直角三角形，此时t为$\frac{16}{5}$或$\frac{40}{11}$．

    点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用，以及三角形面积等，分类讨论思想的运用是解题的关键．

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    （2）当点P到达点A时，求点E的坐标；
    （3）当t为何值时，四边形PADE是矩形？

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    B．调查一批节能灯管的使用寿命
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    ∠P=$\frac{\widehat{AmB}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$
    ∠P=$\frac{\widehat{AC}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$
    ∠P=$\frac{\widehat{CD}的度数-\widehat{AB}的度数}{2}$
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    （2）如果圆外角所夹的两条弧的度数分别为α、β（α＞β），例如，图2中，圆外角∠P所夹的弧$\widehat{AC}$的度数为α，$\widehat{AB}$的度数为β，试结合你所画的图形探究∠P与α、β之间的数量关系，将发现的结论直接写在对应图形下方的横线上．
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