Question

18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB=4，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动（点D不与点A，C重合），且始终保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
（1）△DFE是等腰直角三角形；
（2）四边形CEDF有可能成为正方形；
（3）四边形CEDF的面积随点E的位置的改变而发生变化；
（4）点C到线段DE的最大距离为$\sqrt{2}$．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （1）易证△ADF≌△CEF，从而可得FD=FE，∠AFD=∠CFE，即可得到∠DFE=∠AFC=90°，从而可得△DFE是等腰直角三角形．
（2）当FD⊥AC时，易证四边形CEDF是矩形，由FD=FE可得矩形CEDF是正方形；
（3）由△ADF≌△CEF可得S_△ADF=S_△CEF，从而可得S_{四边形CEDF}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC（定值）；
（4）易得当DE⊥CF时，点C到线段DE的距离最大，等于$\frac{1}{2}$CF，只需求出CF，即可解决得到点C到线段DE的最大距离．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=CB=4，F是AB边上的中点，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，
∴∠A=∠B=∠ACF=∠BCF=45°．
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠ECF}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF，
∴FD=FE，∠AFD=∠CFE，
∴∠DFE=∠AFC=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．
故（1）正确；
（2）当FD⊥AC时，
∵∠DCE=∠CDF=∠DFE=90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∵FD=FE，
∴矩形CEDF是正方形．
故（2）正确；
（3）∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴S_{四边形CEDF}=S_△AFC=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
故（3）错误；
（4）当FD垂直于AC时，三角形FDE的面积最小，而四边形CDFE的面积不变，此时三角形CDE的面积最大，而此时DE正好是最小值．所以C点到DF的距离最大，此时点C到线段DE的为$\frac{1}{2}$CF，即$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
故（4）正确．
综上所述：（1）（2）（4）正确．
故选C．

点评 本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键．