Question

【题目】⊙O直径AB＝12cm，AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E且交AM于点D，交BN于点C，设AD＝x，BC＝y．

（1）求y与x之间的关系式；

（2）x，y是关于t的一元二次方程2t2﹣30t+m＝0的两个根，求x，y的值；

（3）在（2）的条件下，求△COD的面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）或；（3）45．

【解析】

（1）如图，作DF⊥BN交BC于F，根据切线长定理得，则DC＝DE+CE＝x+y，在中根据勾股定理，就可以求出y与x之间的关系式．

（2）由（1）求得，由根与系数的关系求得的值，通过解一元二次方程即可求得x，y的值．

（3）如图，连接OD，OE，OC，由AM和BN是⊙O的切线，DC切⊙O于点E，得到，，，推出S△AOD＝S△ODE，S△OBC＝S△COE，即可得出答案．

（1）如图，作DF⊥BN交BC于F；

∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，

∴AB⊥AM，AB⊥BN．

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，

∴四边形ABFD是矩形，

∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝12，

∵BC＝y，

∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；

∵DE切⊙O于E，

∴DE＝DA＝xCE＝CB＝y，

则DC＝DE+CE＝x+y，

在Rt△DFC中，

由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+122，

整理为：y＝，

∴y与x的函数关系式是y＝．

（2）由（1）知xy＝36，

x，y是方程2x2﹣30x+a＝0的两个根，

∴根据韦达定理知，xy＝，即a＝72；

∴原方程为x2﹣15x+36＝0，

解得或．

（3）如图，连接OD，OE，OC，

∵AD，BC，CD是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，AD＝DE，BC＝CE，

∴S△AOD＝S△ODE，

S△OBC＝S△COE，

∴S△COD＝××（3+12）×12＝45．