Question

【题目】如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．

（1）求A，D两点的坐标；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接PA、PD．

①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；

②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0），D（4，3）；（2）①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．

【解析】

（1）由于A、D是直线直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组求解；

（2）①要求△PAD的面积，可以过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，求得PE，再用△PAE和△PDE的面积和求得结果；

②分两种情况解答：过D点作DP∥AC，与抛物线交于点P，求出AC的解析式，进而得PD的解析式，再解PD的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得P点坐标；当P点在AD上方时，延长DP与y轴交于F点，过F点作FG∥AC与AD交于点G，则∠CAD＝∠FGD＝∠PDA，则FG＝FD，设F点坐标为（0，m），求出G点的坐标（用m表示），再由FG＝FD，列出m的方程，便可求得F点坐标，从而求出DF的解析式，最后解DF的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得P点坐标．

（1）联立方程组，

解得，，，

∴A（1，0），D（4，3），

（2）①过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，

∵点P的横坐标为2，

∴P（2，3），E（2，1），

∴PE＝3﹣1＝2，

∴＝3；

②过点D作DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠PDA＝∠CAD，

∵y=-x2+6x-5=-（x-3）2+4，

∴C（3，4），

设AC的解析式为：y=kx+b（k≠0），

∵A（1，0），

∴，

∴，

∴AC的解析式为：y=2x-2，

设DP的解析式为：y=2x+n，

把D（4，3）代入，得3=8+n，

∴n=-5，

∴DP的解析式为：y=2x-5，

联立方程组，

解得，，，

∴此时P（0，-5），

当P点在直线AD上方时，延长DP，与y轴交于点F，过F作FG∥AC，FG与AD交于点G，

则∠FGD=∠CAD=∠PDA，

∴FG=FD，

设F（0，m），

∵AC的解析式为：y=2x-2，

∴FG的解析式为：y=2x+m，

联立方程组，

解得，，

∴G（-m-1，-m-2），

∴FG=，FD=，

∵FG=FD，

∴=，

∴m=-5或1，

∵F在AD上方，

∴m＞-1，

∴m=1，

∴F（0，1），

设DF的解析式为：y=qx+1（q≠0），

把D（4，3）代入，得4q+1=3，

∴q=，

∴DF的解析式为：y=x+1，

联立方程组

∴，，

∴此时P点的坐标为(，)，

综上，P点的坐标为（0，-5）或(，)．