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【题目】已知:三角形ABC,A=90°,AB=AC,DBC的中点.

(1)如图,EF分别是ABAC上的点,BE=AF,求证:DEF为等腰直角三角形.

(2)EF分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.

【答案】1)见解析;(2)见解析

【解析】

(1)先连接AD,构造全等三角形:△BED和△AFDAD是等腰直角三角形ABC底边上的中线,所以有∠CAD=BAD=45°,AD=BD=CD,而∠B=C=45°,所以∠B=DAF,再加上BE=AFAD=BD,可证出:△BED≌△AFD,从而得出DE=DF,∠BDE=ADF,从而得出∠EDF=90°,即△DEF是等腰直角三角形;

(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.

解:(1)连结AD ,

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,DBC中点 ,

∴AD⊥BC ,BD=AD ,

∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,

∵BE=AF ,

∴△BDE≌△ADFSAS,

∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,

∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,

∴△DEF为等腰直角三角形.

2)连结AD

∵AB=AC ,∠BAC=90° ,DBC中点 ,

∴AD=BD ,AD⊥BC ,

∴∠DAC=∠ABD=45° ,

∴∠DAF=∠DBE=135°,

又∵AF=BE ,

∴△DAF≌△DBESAS,

∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,

∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.

∴△DEF为等腰直角三角形.

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