Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC=10，cosB=$\frac{4}{5}$，点D、F为边BC、AC上一点，∠ADF=∠B，BD=4．
（1）求FC的长；
（2）若AD∥CE，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BC于M，在Rt△AMB中，根据已知条件得到BM=AB•cosB=8，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=6，在Rt△ADM中，AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{52}$，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，推出△AFD∽△ADC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AC}$，求得AF=$\frac{A{D}^{2}}{AC}$=$\frac{26}{5}$，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ADF=∠ECF，∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠ACD，推出△ACD∽△EFC，得到$\frac{AD}{CF}$=$\frac{EF}{CD}$，由（1）证得BM=CM=8，DM=4，即可得到结论．

解答 解：（1）作AM⊥BC于M，
在Rt△AMB中，
∵AB=10，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴BM=AB•cosB=8，AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=6，
∵BD=4，
∴DM=4，
在Rt△ADM中，AD=$\sqrt{D{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{52}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADF=∠ACB，
∴∠ADF=∠ACB，
∵∠DAF=∠CAD，
∴△AFD∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AD}{AC}$，
∴AF=$\frac{A{D}^{2}}{AC}$=$\frac{26}{5}$，
∴CF=AC=AF=$\frac{24}{5}$；

（2）∵AD∥CE，
∴∠ADF=∠ECF，∠ADF=∠E，
∵∠ADF=∠ACD，
∴∠E=∠ACD，
∴△ACD∽△EFC，
∴$\frac{AD}{CF}$=$\frac{EF}{CD}$，
由（1）证得BM=CM=8，DM=4，
∴CD=12，
∴$\frac{\sqrt{52}}{\frac{24}{5}}$=$\frac{EF}{12}$，
∴EF=$\frac{5\sqrt{52}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．