Question

17．如图，E，F是正方形ABCD边AD，CD上两个动点，且AE=DF，BE交AF于H，AB=2，连接DH．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）求线段DH的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先证明△BAE≌△ADF，得出对应角相等∠ABE=∠DAF，再根据角的互余关系求出∠AHB=90°即可得出结论；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取AB的中点O，连接OH、OD，然后求出OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小；当E与A重合、F与D重合时，DH最大，此时DH=AD=2，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DA，∠BAE=∠ADF=90°，
在△BAE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}&{\;}\\{∠BAE=∠ADF}&{\;}\\{AB=DA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠DAF+∠BAF=90°
∴∠ABE+∠BAF=90°
∴∠AHB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）取AB的中点O，连接OH、OD，如图所示：
∵∠AHB=90°，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=1，
∵OD=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当O、D、H三点重合时，在一条直线上时，DH长度最小，
线段DH长度的最小值是：$\sqrt{5}$-1；
当E与A重合、F与D重合时，DH最大，此时DH=AD=2，
∴线段DH的取值范围是$\sqrt{5}$-1≤DH≤2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的三边关系、勾股定理；确定出DH最小和最大时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．