精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】定义:若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时.则称此抛物线为正抛物线.

概念理解:

1)如图,在ABC中,∠BAC90°,点DBC的中点.试证明:以点A为顶点,且与x轴交于DC两点的抛物线是正抛物线;

问题探究:

2)已知一条抛物线经过x轴的两点EFEF的左边),E10)且EF2若此条抛物线为正抛物线,求这条抛物线的解析式;

应用拓展:

3)将抛物线y1=﹣x2+2x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2.抛物线y2的顶点为P,与x轴的两个交点分别为MNMN左侧),把PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚,当边PNx轴重合时记为第1次翻滚,当边PMx轴重合时记为第2次翻滚,依此类推,请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标.

【答案】(1)详见解析;(2)yy;(3)当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为(40393).

【解析】

1)由RtABCAD是斜边BC的中线可得ADCD,由抛物线对称性可得ADAC,即证得△ACD是等边三角形.

2)设抛物线顶点为G,根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形,又易求EF坐标,即能求G点坐标.由于不确定点G纵坐标的正负号,故需分类讨论,再利用顶点式求抛物线解析式.

3)根据题意求出抛物线y2的解析式,并按题意求出PMN的坐标,得到等边△PMN,所以当△PMN翻滚时,每3次为一个周期,点P回到x轴上方,且横坐标每多一个周期即加6,其规律为当翻滚次数n能被3整除时,横坐标为: +n×2=(2n+12019能被3整除,代入即能求此时点P坐标.

解:(1)证明:∠BAC90°,点DBC的中点

ADBDCDBC

∵抛物线以A为顶点与x轴交于DC两点

ADAC

ADACCD

∴△ACD是等边三角形

∴以A为顶点与x轴交于DC两点的抛物线是正抛物线.

2)∵E10)且EF2,点Fx轴上且EF的左边

F30

∵一条经过x轴的两点EF的抛物线为正抛物线,设顶点为G

∴△EFG是等边三角形

xG

①当G2)时,设抛物线解析式为yax22+

把点E10)代入得:a+0

a=﹣

y=﹣x22+

②当G2,﹣)时,设抛物线解析式为yax22

把点E10)代入得:a0

a

yx22

综上所述,这条抛物线的解析式为y=﹣x22+yx22

3)∵抛物线y1=﹣x2+2x+9=﹣(x2+12

y1向下平移9个单位后得抛物线y2=﹣(x2+3

P3),M00),N20

PMMNPN2

∴△PMN是等边三角形

∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P140),第二次翻滚得P2P1相同,第三次翻滚得P373

即每翻滚3次为一个周期,当翻滚次数n能被3整除时,点P纵坐标为3,横坐标为: +n×2=(2n+1

2019÷3673

∴(2×2019+1×4039

∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为(40393).

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在RtABC中,∠C90°CACB4,将ABC翻折,使得点B与边AC的中点M重合,如果折痕与边AB的交点为E,那么BE的长为_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与双曲线的一个交点为B(-1,4).

(1)求直线与双曲线的表达式;

(2)过点B作BC⊥x轴于点C,若点P在双曲线上,且△PAC的面积为4,求点P的坐标.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,边长为2的正方形ABCD的顶点AB在一个半径为2的圆上, 顶点CD在圆内,将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动当滚动一周回到原位置时,点C运动的路径长为__ _

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,在△ABC中,∠A=90°,C=30°,ADBCD,BE是∠ABC的平分线,且交ADP,如果AP=2,则AC的长为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】为了求1+2+22+23+…+22016+22017的值,

可令S1+2+22+23+…+22016+22017

2S2+22+23+24+…+22017+22018

因此2SS220181

所以1+22+23+…+22017220181

请你仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52017的值是_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】小明解方程出现了错误,解答过程如下:

方程两边都乘以,得(第一步)

去括号,得(第二步)

移项,合并同类项,得(第三步)

解得(第四步)

原方程的解为(第五步)

1)小明解答过程是从第_____步开始出错的,这一步正确的解答结果_____,此步的根据是_____

2)小明的解答过程缺少_____步骤,此方程的解为_____

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某学校去年在某商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费2400元,购买乙种足球共花费1600元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.

(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元;

(2)今年学校为编排“足球操”,决定再次购买甲、乙两种足球共50个.如果两种足球的单价没有改变,而此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过3500元,那么这所学校最少可购买多少个甲种足球?

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点,将纸片沿AE对折,点D的对应点D恰好在线段BE上.若AD3DE1,则AB_____

查看答案和解析>>

同步练习册答案