Question

如图，△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向点B以2厘米/秒的速度移动．
（1）几秒后△PBQ为等腰三角形？
（2）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于3厘米²？
（3）几秒后四边形APQC的面积为Rt△ABC面积的三分之二？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：（1）设经过x秒后，△PBQ是等腰三角形，那么根据BP=BQ列出方程6-x=8-2x，解方程即可；
（2）根据△PBQ的面积等于3厘米²列出方程，解方程即可；
（3）当四边形APQC的面积为Rt△ABC面积的三分之二时，△PBQ的面积是Rt△ABC面积的三分之一，由此列出方程，解方程即可．

解答：解：设P、Q运动时间为x秒．
（1）△PBQ为等腰三角形时，BP=BQ，
即6-x=8-2x，解得x=2．
故2秒后△PBQ为等腰三角形；

（2）∵△PBQ的面积等于3厘米²，
∴

1

2

（6-x）（8-2x）=3，
解得x₁=3，x₂=7（不合题意舍去），
故经过3秒钟，△PBQ的面积等于3厘米²；

（3）∵四边形APQC的面积为Rt△ABC面积的三分之二，
∴△PBQ的面积是Rt△ABC面积的三分之一，
∴

1

2

（6-x）（8-2x）=

1

3

×

1

2

×6×8，
解得x₁=2，x₂=8（不合题意舍去），
故2秒后四边形APQC的面积为Rt△ABC面积的三分之二．

点评：本题考查了一元二次方程与一元一次方程的应用，等腰三角形的性质，三角形的面积，弄清题意是解本题的关键．