【题目】如图,平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG,AH=CF.
(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AB=AD,且AH=AE,求证:四边形EFGH是矩形.
【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)易证得△AEH≌△CGF,从而证得BE=DG,DH=BF.故有,△BEF≌△DGH,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证.
(2)由题意知,平行四边形ABCD是菱形,连接AC,BD,则有AC⊥BD,由AB=AD,且AH=AE可证得HE∥BD,同理可得到HG∥AC,故HG⊥HE,又由(1)知四边形HGFE是平行四边形,故四边形HGFE是矩形.
试题解析:证明:(1)在平行四边形ABCD中,∠A=∠C,
又∵AE=CG,AH=CF,
∴△AEH≌△CGF.
∴EH=GF.
在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,
∴AB-AE=CD-CG,AD-AH=BC-CF,
即BE=DG,DH=BF.
又∵在平行四边形ABCD中,∠B=∠D,
∴△BEF≌△DGH.
∴GH=EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
设∠A=α,则∠D=180°-α.
∵AE=AH,∴∠AHE=∠AEH=.
∵AD=AB=CD,AH=AE=CG,
∴AD-AH=CD-CG,即DH=DG.
∴∠DHG=∠DGH=.
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°.
又∵四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH是矩形.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于E.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.
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【题目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处,使三角板绕点D旋转.
(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CE与AF的数量关系,并加以证明;
(2)在(1)的条件下,若DE:AE:CE= 1: :3,求∠AED的度数;
(3)若BC= 4,点M是边AB的中点,连结DM,DM与AC交于点O,当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2),若OF=,求CN的长.
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【题目】我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
(1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形;
(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想;
(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)
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【题目】弹簧挂上物体后会伸长,(在弹性限度内)已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表:
物体的质量 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
弹簧的长度 | 12 | 12.5 | 13 | 13.5 | 14 | 14.5 |
(1)当物体的质量为时,弹簧的长度是多少?
(2)如果物体的质量为,弹簧的长度为,根据上表写出与x的关系式;
(3)当物体的质量为时,求弹簧的长度.
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【题目】某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB=(x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.
(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;
(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?
(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?
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