Question

【题目】如图，四边形OABC为矩形，点B坐标为（4，2），A，C分别在x轴，y轴上，点F在第一象限内，OF的长度不变，且反比例函数经过点F.

（1）如图1，当F在直线y = x上时，函数图象过点B，求线段OF的长.

（2）如图2，若OF从（1）中位置绕点O逆时针旋转，反比例函数图象与BC，AB相交，交点分别为D，E，连结OD，DE，OE.

①求证：CD=2AE.

②若AE+CD=DE，求k.

③设点F的坐标为（a，b），当△ODE为等腰三角形时，求（a+b）2的值.

Answer 1

【答案】（1）OF =4；（2）①证明见解析；② k=；③96-16或36-4.

【解析】分析（1）由y=经过点B (2,4).，求出k的值，再利用F在直线y = x，求出m的值，最后利用勾股定理求解即可;(2) ①利用反比例函数k的几何意义可求解; ②Rt△EBD中，分别用n表示出BD、BE、DE，再利用勾股定理解答即可; ③分三种情况讨论即可：OE=OD；

OE=DE；OD=DE.

（1）∵F在直线y=x上

∴设F（m，m）

作FM⊥x轴

∴FM=OM=m

∵y=经过点B (2,4).

∴k=8

∴

∴

∴

∴OF =4；

（2）①∵函数 的图象经过点D，E

∴∵ OC=2，OA=4

∴CO=2AE

②由①得：CD=2AE

∴可设：CD=2n，AE=n

∴DE=CD+AE=3n

BD=4-2n， BE=2-n

在Rt△EBD，由勾股定理得：

∴

解得

③CD=2c，AE=c

情况一：若OD=DE

∴

∴

∴

情况二：若OE=DE

∴

∴

情况三：OE=OD 不存在.