Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点D的纵坐标是﹣4．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设直线与直线AC关于该抛物线的对称轴对称，求直线的表达式；

（3）平行于x轴的直线b与抛物线交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），与直线交于点P（x3，y3）．若x1＜x3＜x2，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0）B（1，0）；（2）直线的表达式为y＝x﹣1；（3）﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．

【解析】

（1）根据题意求得m＝1，从而求得解析式，令y＝0，解方程即可求得A、B的坐标；

（2）根据轴对称求得对称点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（3）由 1，得出x1＋x2＝2，由题意可知2＜x3＜1，即可求得4＜x1＋x2＋x3＜1．

解：（1）∵抛物线 y＝mx2+2mx﹣3（m＞0）的顶点D的纵坐标是﹣4，

∴4，解得m＝1，

∴y＝x2+2x﹣3，

令y＝0，则 x＝﹣3或1，

∴A（﹣3，0）B（1，0）；

（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为x＝﹣1，

∵点C（0，﹣3）关于抛物线的对称轴的对称点坐标是E（﹣2，﹣3），点A（﹣3，0）关于该抛物线的对称轴的对称点坐标是B（1，0），

设直线的表达式为y＝kx+b，

∵点E（﹣2，﹣3）和点B（1，0）在直线上

∴，解得，

∴直线的表达式为y＝x﹣1；

（3）由对称性可知 1，

∴x1+x2＝﹣2，

∵x1＜x3＜x2，

∴﹣2＜x3＜1，

∴﹣4＜x1+x2+x3＜﹣1．