Question

【题目】如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，顶点为F.

(1)求A，B，C三点的坐标；

(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；

(3)已知M为抛物线上的一动点(不与C点重合)，试探究：①若以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；

②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与☉E的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）抛物线的解析式为y=x2-x-4，F；(3)①所点M的坐标为(6，-4)，(+3，4)，(-+3，4)；②若M点位于第四象限，则M点即为M1点，此时直线MF和☉E相切，理由见解析.

【解析】分析：（1）由题意可直接得到点A、B的坐标，连接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的长，则得到点C的坐标；
（2）已知点A、B、C的坐标，利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式，由解析式得到顶点F的坐标；
（3）①△ABC中，底边AB上的高OC=4，若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得点M的坐标；
②如解答图，作辅助线，可求得EM=5，因此点M在 E上；再利用勾股定理求出MF的长度，则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形，∠EMF=90°，所以直线MF与 E相切．

详解：(1)由题图可得点A的横坐标为3-5=-2，点B的横坐标为3+5=8，

连接CE，则CE=5，又OE=3，

∴OC==4，

∴A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4).

(2)把(-2，0)，(8，0)，(0，-4)代入y=ax2+bx+c，得.

解得

∴抛物线的解析式为y=x2-x-4.

∵EF∥y轴，∴点F的横坐标为3.

把x=3代入y=x2-x-4，得y=-，

∴F.

(3)①如图所示，连接AC，BM1，BC，

易知=S△ABC，△ABM1与△ABC同底等高，

点C与点M1关于直线x=3对称，

M1(6，-4).

把y=4代入y=x2-x-4，得x2-x-4=4，

解得x1=+3，x2=-+3，

∴M2(+3，4)，M3(-+3，4).

∴所有符合条件的点M的坐标为(6，-4)，(+3，4)，(-+3，4).

②若M点位于第四象限，则M点即为M1点，此时直线MF和☉E相切.

理由如下：M1(6，-4)，圆心E(3，0)，点F，

连接M1E.

利用勾股定理得M1E=5，M1F=，又EF=，

∴M1E2+M1F2=EF2，即∠FM1E=90°，

∴M1E⊥M1F.

∵M1E是☉E的半径，

∴直线M1F和☉E相切，

即当M点位于第四象限时，直线MF与☉E相切.