【题目】已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求证:直线AC是圆O的切线;
(2)如果∠ACB=75°,圆O的半径为2,求BD的长.
【答案】
(1)证明:∵OD=OC,∠DOC=90°,
∴∠ODC=∠OCD=45°.
∵∠DOC=2∠ACD=90°,
∴∠ACD=45°.
∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°.
∵点C在圆O上,
∴直线AC是圆O的切线
(2)解:方法1:∵OD=OC=2,∠DOC=90°,
∴CD=2 .
∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,
∴∠BCD=30°,
作DE⊥BC于点E,
则∠DEC=90°,
∴DE=DCsin30°= .
∵∠B=45°,
∴DB=2.
方法2:连接BO
∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,
∴∠BCD=30°,∴∠BOD=60°
∵OD=OB=2
∴△BOD是等边三角形
∴BD=OD=2.
【解析】(1)由题意可知△DOC为等腰直角三角形,故此可得到∠DCO=45°,然后依据题意可求得∠ACD=45°,从而得到∠OCA=90°;
(2)连接OB,先求得∠BCO=15°,故此可得到∠BCD=30,然后依据圆周角定理可得到∠DOB=60,从而可证明△BOD为等边三角形.
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的判定定理的相关知识,掌握切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
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【题目】如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,我们将小正方形的顶点叫做格点,线段AB的端点均在格点上.
(1)将线段AB向右平移3个单位长度,得到线段A′B′,画出平移后的线段并连接AB′和A′B,两线段相交于点O;
(2)求证:△AOB≌△B′OA′.
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【题目】问题探究:
(1)如图①,点M、N分别为四边形ABCD边AD、BC的中点,则四边形BNDM的面积与四边形ABCD的面积关系是 .
(2)如图②,在四边形ABCD中,点M、N分别为AD、BC的中点,MB交AN于点P,MC交DN于点Q,若S△四边形MPNQ=10,则S△ABP+S△DCQ的值为多少?
(3)问题解决
在矩形ABCD中,AD=2,DC=4,点M、N为AB上两点,且满足BN=2AM=2MN,连接MC、MD.若点P为CD上任意一点,连接AP、NP,使得AP与DM交于点E,NP与MC交于点F,则四边形MEPF的面积是否存最大值?若存在,请求出最大面积;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.
(1)求证:四边形ADEF是平行四边形;
(2)求证:∠DHF=∠DEF.
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【题目】某气象站观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程,开始时风速按一定的速度匀速增大,经过荒漠地时,风速增大的比较快.一段时间后,风速保持不变,当沙尘暴经过防风林时,其风速开始逐渐减小,最终停止.如图所示是风速与时间之间的关系的图象.结合图象回答下列问题:
(1)沙尘暴从开始发生到结束共经历了多长时间?
(2)从图象上看,风速在哪一个时间段增大的比较快,增加的速度是多少?
(3)风速在哪一时间段保持不变,经历了多长时间?
(4)风速从开始减小到最终停止,风速每小时减小多少?
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【题目】如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.
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【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBEF是菱形?为什么?
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【题目】在平面直角坐标系中,点A(t+1,t+2),点B(t+3,t+1),将点A向右平移3个长度单位,再向下平移4个长度单位得到点C.
(1)用t表示点C的坐标为_______;用t表示点B到y轴的距离为___________;
(2)若t=1时,平移线段AB,使点A、B到坐标轴上的点、处,指出平移的方向和距离,并求出点、的坐标;
(3)若t=0时,平移线段AB至MN(点A与点M对应),使点M落在x轴的负半轴上,三角形MNB的面积为4,试求点M、N的坐标.
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【题目】如图1,已知,是等边三角形,点为射线上任意一点(点与点不重合),连结,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连结并延长交射线于点.
(1)如图1,当时,________,猜想________;
(2)如图2,当点为射线上任意一点时,猜想的度数,并说明理由;
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