【题目】如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBEF是菱形?为什么?
【答案】(1)证明见解析;(2)当AB=BC时,四边形DBEF是菱形,理由见解析.
【解析】
试题(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC,然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明.
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.
试题解析:
(1)∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB,
∴四边形DBFE是平行四边形.
(2)当AB=BC时,四边形DBEF是菱形.
理由如下:
∵D是AB的中点,
∴BD= AB.
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE= BC.
∵AB=BC,
∴BD=DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形,
∴四边形DBFE是菱形.
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【题目】如图,ABCD的对角线AC、BD交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,且∠ADC=60°,AB= BC,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②SABCD=ABAC;③OB=AB;④OE= BC,成立的个数有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图,在直角坐标系中,△ABC满足∠BCA=90°,AC=BC=,点A、C分别在x轴和y轴上,当点A从原点开始沿x轴的正方向运动时,则点C始终在y轴上运动,点B始终在第一象限运动.
(1)当AB∥y轴时,求B点坐标.
(2)随着A、C的运动,当点B落在直线y=3x上时,求此时A点的坐标.
(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点D,使以O、A、B、D为顶点的四边形面积是4?如果存在,请直接写出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,D是AB边上一点,圆O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求证:直线AC是圆O的切线;
(2)如果∠ACB=75°,圆O的半径为2,求BD的长.
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【题目】已知四边形ABCD,其中AD//BC,AB⊥BC,将DC沿DE折叠,C落于,交CB于G,且ABGD为长方形(如图1);再将纸片展开,将AD沿DF折叠,使A点落在DC上一点(如图2),在两次折叠过程中,两条折痕DE、DF所成的角为____________度.
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【题目】小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨,准备做萝卜排骨汤.
妈妈:“今天买这两样菜共花了45元,上月买同重量的这两样菜只要36元”;
爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨50%,排骨单价上涨20%”;
小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?”
请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元/斤).
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【题目】[阅读]
在平面直角坐标系中,以任意两点P( x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为(,).
[运用]
(1)如图,矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为 .
(2)在直角坐标系中,有A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.
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【题目】如图①所示是一个长为,宽为的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的正方形的边长等于 .(用含,的代数式表示)
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积:
方法①: .
方法②: .
(3)观察图②,直接写出、、这三个代数式之间的等量关系.
(4)根据(3)题中的等量关系,若,,求图②中阴影部分的面积.
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