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【题目】如图(1),在平面直角坐标系x Oy,直线y=2x+4y轴交于点A,x轴交于点B,抛物线C1:y=x2+bx+cAB两点,与x轴的另一交点为点C.

(1)求抛物线C1的解析式及点C的坐标;

(2)如图(2),作抛物线C2,使得抛物线C2C1恰好关于原点对称,C2C1在第一象限内交于点D,连接ADCD,请直接写出抛物线C2的解析式和点D的坐标.

(3)已知抛物线C2的顶点为M,P为抛物线C1对称轴上一点,Q为直线y=2x+4上一点,是否存在以点MQPB为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2+x+4C80);

2y=x2+x-4D46);

3)(3)或(3);

【解析】

1)先求出直线y=2x+4x轴、y轴交点坐标,待定系数法求抛物线解析式即可;

2)根据两抛物线关于原点对称,将抛物线C1的解析式中的xy分别换成-x-y,整理后即为抛物线C2的解析式;再通过解方程组求点D的坐标;

3)过BBNy轴,过MMNx轴与BN交于点N,分两种情形分别求点P的坐标:①BM为平行四边形的边,②BM为平行四边形的对角线.

1)∵直线y=2x+4y轴交于点A,与x轴交于点B,∴A04),B-20),

∵抛物线C1y=-x2+bx+cAB两点,

c=40=-×-22-2b+4,解得b=

∴抛物线C1的解析式为:y=-x2+x+4

y=0,得-x2+x+4=0,解得x1=-2x2=8

C80);

2)∵抛物线C2C1恰好关于原点对称,

∴抛物线C2的解析式为y=x2+x-4

解方程组得:

∵点D在第一象限内,

D46);

3)存在.

BBNy轴,过MMNx轴与BN交于点N

∵抛物线C2的解析式为y=x2+x-4= (x+3)2-

∴顶点M-3-),

BN=MN=1

抛物线C1的对称轴为:直线x=3,设P3m

①以点MQPB为顶点的四边形为平行四边形,若MQ为对角线,则BMPQBM=PQ

Q4m+),

又∵Q为直线y=2x+4上一点,

m+=2×4+4,解得:m=

P3);

②若BM为对角线,设P3m),Qn2n+4),

BM中点坐标为(-

,解得

P3),

③若BQ为对角线,∵BMPQBM=PQ,∴Q28),设P3m),

m-=8+0,解得:m=

P3

综上所述,存在以点MQPB为顶点的四边形为平行四边形,点P的坐标为P3)或P3).

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