已知关于x的一元二次方程x2$+2x+\frac{k-1}{2}=0$有两个不相等的实数根.k为正整数．(1)求k的值,(2)当此方程有一根为零时.直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x$+\frac{k-1}{2}$的图象交于A.B两点.若M是线段AB上的一个动点.过点M作MN⊥x轴.交二次函数的图象于点N.求线段MN的最大值及此时点M的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

13．

已知关于x的一元二次方程x²$+2x+\frac{k-1}{2}=0$有两个不相等的实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x²+2x$+\frac{k-1}{2}$的图象交于A、B两点（A在B的左侧），若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；
（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=$\frac{1}{2}x$+b与该新图象恰好有三个公共点，请求出此时b的值．
（4）在（2）的条件下，若P是平面上的一点，以M、N、A、P为顶点的四边形为菱形，请直接写出此时P的坐标．

分析（1）根据一元二次方程根的判别式，确定出k的范围，结合k为正整数，即可求解；
（2）根据一元二次方程的一个根为0，确定出k，联立$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$确定出交点坐标，最后建立MN与m的函数关系式，即可；
（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可；
（4）根据点A，M，N的坐标，确定出AM，AN，MN，判断出不存在满足条件的菱形．

解答解：（1）关于x的一元二次方程x²$+2x+\frac{k-1}{2}=0$有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，k-1＜2，
解得k＜3，
∵k为正整数，
∴k=1，2；
（2）如图1，

当x=0时，$\frac{k-1}{2}$=0．解得k=1．
当k=1时，二次函数为y=x²+2x．
联立抛物线与直线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-2，0），B（1，3）．
设M（m，m+2），其中-2＜m＜1，N（m，m²+2m），
MN=m+2-（m²+2m）=-m²-m+2=-（m+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
当m=-$\frac{1}{2}$时，MN_最大=$\frac{9}{4}$，此时M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）①当直线y=$\frac{1}{2}$x+b过A点时，直线y=$\frac{1}{2}x$+b与该新图象恰好有三个公共点，如图2，

将A点坐标代入，得$\frac{1}{2}$×（-2）+b=0．
解得b=1；
②当y=$\frac{1}{2}$x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点，
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=-x²-2x
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$有一组解
得-x²-$\frac{5}{2}$x-b=0有两个相等的实数根，
（-$\frac{5}{2}$）²-4×（-1）×（-b）=0，
解得b=$\frac{25}{16}$，
综上所述：直线y=$\frac{1}{2}x$+b与该新图象恰好有三个公共点，此时b的值为1或$\frac{25}{16}$；
（4），由（2）有，A（-2，0），M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），N（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$），
∴MN=$\frac{9}{4}$，AM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，AN=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
∴MN，AM，AN中没有相等的线段，
∴平面内容，不存在点P，使以M、N、A、P为顶点的四边形为菱形．

点评本题是二次函数综合题型，主要考查了根的判别式的应用，还考查了两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线有3个交点的情况，根据题意分类讨论，并且作出图形更利于解决问题．

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