Question

已知：关于x的方程x²-kx-2=0．
（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两个实数根为x₁，x₂，若2（x₁+x₂）＞x₁x₂，求k的取值范围．
（3）设方程的两个实数根为x₁，x₂，且满足

1

x1

+

1

x2

=-

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据根的判别式△=b²-4ac来确定方程的根的情况；
（2）由根与系数的关系x₁+x_2=-

b

a

、x₁x₂=

c

a

来求k的取值范围；
（3）首先把

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

，再把x₁+x₂=k，x₁x₂=-2代入即可得到关于k的方程，再解方程即可．

解答：（1）证明：由方程x²-kx-2=0知：
a=1，b=-k，c=-2，
∴△=b²-4ac，
=（-k）²-4×1×（-2）
=k²+8＞0，
∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；

（2）解：∵方程x²-kx-2=0．的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，
又∵2（x₁+x₂）＞x₁x₂，
∴2k＞-2，即k＞-1．

（3）解：

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

2

3

，

k

-2

=-

2

3

，
k=-

4

3

．

点评：此题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．