Question

【题目】对于任意一个四位数．如果把它的前两位数字和后两位数字调换，则称得到的数为的调换数，把与其调换数之差记为，例如的调换数为，．

（1）求证：对于任意一个四位数，都能被整除．

（2）我们把与的商记为，例如，若有两数、，其中， ，，、都是正整数)，那么当时，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）60

【解析】

(1)设任意一个四位数的千位、百位、十位、个位数字分别为、、、，分别表示出这个四位数与其调换数，将这两个数作差化简即可得到结论；

(2)根据题目意思分别表示出和，将和代入得出，再表示出，结合题目条件即可得出结果．

(1)证明：设任意一个四位数的千位、百位、十位、个位数字分别为、、、，则

、、、为自然数，

为自然数，

能被整除；

(2)解：由题意可得：

，

，

，开口向下，且对称轴为

又，且为正整数，

当时，取得最大值．