如图.在平面直角坐标系中.已知抛物线y=ax2+bx-2.B(3.0)两点.与y轴交于点C.其顶点为点D.点E的坐标为.该抛物线与BE交于另一点F.连接BC．(1)求该抛物线的解析式,(2)一动点M从点D出发.以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动.连接OM.BM.设运动时间为t秒.在点M的运动过程中.当t为何值时.∠OMB=90°?(3)在x轴上方的抛物线上.是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

11．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，-1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）设出点M，用勾股定理求出点M的坐标，从而求出MD，最后求出时间t；
（3）由∠PBF被BA平分，确定出过点B的直线BN的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可．

解答解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\\;\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2；

（2）如图1，

由（1）知y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$；
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，$\frac{2}{3}$），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞$\frac{2}{3}$），
∴OM²=m²+4，BM²=m²+1，OB²=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM²+BM²=OB²，
∴m²+4+m²+1=9，
∴m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍），
∴M（0，$\sqrt{2}$），
∴MD=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$；

（3）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图2，

∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，-1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1①，
∵点P在抛物线y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2②上，
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}\\;}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评本题考查二次函数综合题、待定系数法、一次函数的应用、三角形的面积角平分线等知识，解题时根据灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．

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