Question

如图，△ABC中，分别在AB、AC上取点D、E，使得BD=CE，连结BE、CD相交于点P，点M是BC的中点，∠BAC的平分线AQ与PM相交于点Q．求证：四边形BPCQ是平行四边形．

Answer 1

考点：平行四边形的判定

专题：证明题

分析：在射线PM上取Q'，使PM=MQ'，连AQ'，BQ'，CQ'，DQ'，EQ'．易证BPCQ'是平行四边形，利用平行四边形的性质和三角形面积间的数量关系推知Q'到AB的距离=Q'到AC的距离，则Q'在∠BAC的平分线AQ上，所以Q'与Q重合．故四边形BPCQ即四边形BPCQ'为平行四边形．

解答：解：在射线PM上取Q'，使PM=MQ'，连AQ'，BQ'，CQ'，DQ'，EQ'．
∵BM=MC，PM=MQ'，
∴BPCQ'是平行四边形，即有CP∥BQ'，BP∥CQ'，
∴S_△DBQ'=S_△CBQ'=S_△CEQ'．
又∵BD=CE，
∴Q'到AB的距离=2•

S△DBQ′

BD

=2•

S△CEQ′

CE

=Q'到AC的距离，
∴Q'在∠BAC的平分线AQ上．
于是Q'为PM与AQ的交点，即Q'与Q重合．
故四边形BPCQ即四边形BPCQ'为平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形判定．此题实际上是利用了逆证法推知四边形BPCQ为平行四边形的．