Question

13．边长为4的正方形纸片ABCD中，折叠纸片，使点A与正方形一边的中点重合，则折痕的长度为多少．

Answer 1

分析 连接ME，作MP⊥AB交AB于点P，根据折叠的性质，在RT△EBN中，若根据勾股定理就可以列出方程，从而解出BN的长．在RT△MFE中，有MF²+FE²=ME²，在RT△MCE中，有CE²+CM²=ME²，根据这两个式子可求得MF=$\frac{1}{2}$，得到DM=AP=$\frac{1}{2}$，NP=2，在RT△MPN中，运用勾股定理求出MN=2$\sqrt{5}$．

解答 解：如图，连接ME，作MP⊥AB交AB于点P，
由四边形ABCD是正方形及折叠性知，DM=MF，EN=AN，EF=AD，∠MFE=∠ADC=90°，
在RT△EBN中，BE²+BN²=EN²，
∵AB=BC=CD=DA=4，E为BC的中点，
∴BE=2，
∴2²+BN²=（4-BN）²
解得BN=$\frac{3}{2}$，
在RT△MFE中，MF²+FE²=ME²，
在RT△MCE中，CE²+CM²=ME²，
∴MF²+FE²=CE²+CM²，
∴MF²+4²=2²+（4-MF）²
解得，MF=$\frac{1}{2}$，
∴DM=AP=$\frac{1}{2}$，
∴NP=AB-BN-AP=4-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$=2，
在RT△MPN中，
MN=$\sqrt{M{P}^{2}+P{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2+}{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．