Question

18．阅读下面材料：
小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=4，BD=6，∠AOB=30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和使问题得到解决（如图2）．请回答：
（1）△ABD的面积为$\frac{3}{2}m$（用含m的式子表示）．
（2）求四边形ABCD的面积．
参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=a，BD=b，∠AOB=α（0°＜α＜90°），则四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}ab•sinα$（用含a、b、α的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）首先得出AE的长，再利用三角形的面积公式求出即可；
（2）根据直角三角形的性质可得AE=$\frac{1}{2}m$，再根据三角形的面积公式可得S_△ABD=$\frac{1}{2}BD•AE=\frac{3}{2}m$，同理再表示CF=$\frac{1}{2}（4-m）$，然后再表示△BCD的面积，再求两个三角形的面积和可得答案；
（3）方法与（2）类似．

解答 解：（1）∵AO=m，∠AOB=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$m，
∴△ABD的面积为：$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$m×6=$\frac{3}{2}m$；
故答案为：$\frac{3}{2}$m；

（2）由题意可知∠AEO=90°．
∵AO=m，∠AOB=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}m$．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}BD•AE=\frac{3}{2}m$．
同理，CF=$\frac{1}{2}（4-m）$．
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BD•CF=6-\frac{3}{2}m$．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=6．

解决问题：分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为x，
∵AO=x，∠AOB=α，
∴AE=x•sinα．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$xb，
同理，CF=（4-x）•sinα，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}BD•CF=6-\frac{3}{2}m$．$\frac{1}{2}$DB•CF=$\frac{1}{2}$b•（4-x）•sinα，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=$\frac{1}{2}ab•sinα$．
故答案为：$\frac{1}{2}ab•sinα$．

点评 此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的面积，三角函数，关键是掌握三角形的面积公式．