Question

4．一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转，得到图2，设AC=BC=4．

（1）当AD=1时，求重叠部分MDCG的面积；
（2）△MNK在绕定点旋转的过程中，保持与MN与AC有交点D，MK与BC有交点G，问四边形MDCG的面积是否会改变，请说明理由；
（3）△MNK在绕定点旋转的过程中，保持与MN与AC有交点D，MK与BC有交点G，问DG两点间的距离最小值是多少？试求出此时重叠部分MDCG的周长．

Answer 1

分析 （1）连接CM，根据等腰直角三角形的性质得出AM=CM=BM，∠MCB=∠A=45°，∠CMA=90°，求出∠AMD=∠CMG，根据ASA推出△ADM≌△CGM，求出S_△ADM=S_△CGM，即可推出重叠部分MDCG的面积=S_△ACM=$\frac{1}{2}$S_△ABC，求出△ABC的面积即可；
（2）连接CM，根据等腰直角三角形的性质得出AM=CM=BM，∠MCB=∠A=45°，∠CMA=90°，求出∠AMD=∠CMG，根据ASA推出△ADM≌△CGM，求出S_△ADM=S_△CGM，即可推出重叠部分MDCG的面积=S_△ACM=$\frac{1}{2}$S_△ABC，求出△ABC的面积即可；
（3）设AD=CG=x，则CD=4-x，在Rt△DCG中，由勾股定理得出DG=$\sqrt{C{D}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，即可得出答案．

解答 解：（1）
连接CM，
∵△ACB是等腰直角三角形，M为斜边AB的中点，
∴AM=CM=BM，∠MCB=∠A=45°，∠CMA=90°，
∵∠GMD=90°，
∴∠AMD=∠CMG=90°-∠DMC，
在△ADM和△CGM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MCG}\\{AM=CM}\\{∠AMD=∠CMG}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△CGM（ASA），
∴S_△ADM=S_△CGM，
∴重叠部分MDCG的面积
S=S_△DCM+S_△CGM
=S_△DCM+S_△ADM
=S_△ACM=$\frac{1}{2}$S_△ABC
=$\frac{1}{2}$×4×4
=8；

（2）△MNK在绕定点旋转的过程中，保持与MN与AC有交点D，MK与BC有交点G，四边形MDCG的面积不会改变，
理由是：连接CM，
∵△ACB是等腰直角三角形，M为斜边AB的中点，
∴AM=CM=BM，∠MCB=∠A=45°，∠CMA=90°，
∵∠GMD=90°，
∴∠AMD=∠CMG=90°-∠DMC，
在△ADM和△CGM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MCG}\\{AM=CM}\\{∠AMD=∠CMG}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△CGM（ASA），
∴S_△ADM=S_△CGM，
∴重叠部分MDCG的面积：
S=S_△DCM+S_△CGM
=S_△DCM+S_△ADM
=S_△ACM
=$\frac{1}{2}$S_△ABC
=$\frac{1}{2}$×4×4
=8；

（3）设AD=CG=x，则CD=4-x，
在Rt△DCG中，由勾股定理得：DG=$\sqrt{C{D}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2（x-2）^{2}+8}$，
当x-2=0，即x=2时，DG最小，最小值是$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$；
此时重叠部分MDCG的周长是2+2+2+2=8．

点评 此题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值，勾股定理的应用，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．