Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（

2

，0）在x轴上，将线段OA绕O点逆时针旋转45°得到线段OB，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点B，过A点作x轴的垂线，与OB的延长线交于点C，
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）在（1）中反比例函数图象上是否存在点M，使得MO=MC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）D为线段OC的中点，点P在（1）中反比例函数图象上运动，过P点做x轴的垂线l，垂足为E，l与直线OB、AD分别交于点F、G，当△CPF为直角三角形时，判断四边形AGPC的形状，并证明你的结论．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据OB的长度，∠BOE的度数，可得OE与BE的长度，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据等腰三角形的定义，可得MO与MC的关系，根据一元二次方程的判别式，可得方程无解，可得M点不存在；
（3）根据直角梯形，可得∠CPF的度数，根据直角梯形的判定，可得答案．

解答：解：（1）如图1：

过B点作X轴垂线交X轴于点E，
∠BOE=45度，OB=

2

，所以OE=BE=1，B（1，1）．
反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过点B，
K=1×1=1，
则反比例函数解析式为y=

1

x

；
（2）设M点的坐标为（x，

1

x

），C（

2

，

2

），
由MO=MC，得
x²+（

1

x

）²=（x-

2

）²+（

1

x

-

2

）²，
化简，得

2

x²-2x+

2

=0．
∵△=b²-4ac=（-2）²-4×

2

×

2

=-12＜0，
方程无解，即M点不存在；
（3）如图2：
，
∵△PCF是直角三角形，
∴∠FPC=90°，
∵PF⊥x轴，AC⊥x轴，
∴四边形AGPC是梯形，
∵∠CPG=90°，
∴四边形AGPC为直角梯形．

点评：本题考查了反比例函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义，一元二次方程的判别式，直角梯形的判定，综合性较强．