Question

【题目】（满分8分）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路X同侧， 、到直线x的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线x垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线x的对称点是，连接交直线x于点），到、的距离之和．

（1）求、，并比较它们的大小；

（2）请你说明的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系， 到直线Y的距离为，请你在X旁和Y旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】(1) ﹥, (2)

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值，比较即可；（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA=MA，∴MB+MA=MB+MA'>A'B，∴S2=BA'为最小；（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，求出A'B'的值即可．

试题解析：⑴图（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,

则PC＝40,又AP＝10,

∴AC＝30

在Rt△ABC 中，AB＝50 AC＝30

∴BC＝40

∴ BP＝

S1＝

图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，

则A′C＝50，

又BC＝40

∴BA'＝

由轴对称知：PA＝PA'

∴S2＝BA'＝

∴﹥

(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，

由轴对称知MA＝MA'

∴MB+MA＝MB+MA'﹥A'B

∴S2＝BA'为最小

（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求，过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,

A'B'＝

∴所求四边形的周长为