【题目】如图,四边形ABCD为矩形,AC为对角线,AB=6,BC=8,点M是AD的中点,P、Q两点同时从点M出发,点P沿射线MA向右运动;点Q沿线段MD先向左运动至点D后,再向右运动到点M停止,点P随之停止运动.P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位.以PQ为一边向上作正方形PRLQ.设点P的运动时间为t(秒),正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S.
(1)当点R在线段AC上时,求出t的值.
(2)求出S与t之间的函数关系式,并直接写出取值范围.(求函数关系式时,只须写出重叠部分为三角形时的详细过程,其余情况直接写出函数关系式.)
(3)在点P、点Q运动的同时,有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动,当t为何值时,△LRE是等腰三角形.请直接写出t的值或取值范围.
【答案】(1)t=;
(2)S与t之间的函数关系式为:.
(3)t的取值范围是4≤t≤8时,△LRE是等腰三角形;当t=4s,或t=8s或s或s时,△LRE是等腰三角形.
【解析】
试题分析:(1)根据三角形相似可得,即,解答即可;
(2)根据点P和点Q的运动情况分情况讨论解答即可;
(3)根据△LRE是等腰三角形满足的条件.
试题解析:(1)当点R在线段AC上时,应该满足:,
设MP为t,则PR=2t,AP=4﹣t,
∴可得:,即,
解得:t=;
(2)当时,正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分,所以重叠部分的面积为0;
当时,正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积=,
;
当时,正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×(2t﹣3)2t=2t2﹣3t.
当3<t≤4时,正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×(12﹣2t)×2t=﹣2t2+12t.
当4<t≤8时,正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S=;
综上所述S与t之间的函数关系式为:.
(3)在点P、点Q运动的同时,有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动,
①当点E是BC的中点时,点E在LR的中垂线线上时,EL=ER.此时t=4s,△LRE是等腰三角形;
当点E与点B重合时,点E在LR的中垂线线上时,EL=ER.此时t=8s,△LRE是等腰三角形;
综上所述,t的取值范围是4≤t≤8;
②当EL=LR时,如图所示:
LR=2t,CF=NL=4﹣t,则EF=2t﹣4.FL=CN=6﹣2t,
则在直角△EFL中,由勾股定理得到:EL2=EF2+FL2=(2t﹣4)2+(6﹣2t)2.
故由EL=LR得到:EL2=LR2,即4t2=10t2﹣40t+52,
整理,得
t2﹣10t+13=0,
解得 t1=5+2(舍去),t2=5﹣2.
所以当t=5﹣2(s)时,△LRE是等腰三角形;
同理,当ER=LR时,.
综上所述,t的取值范围是4≤t≤8时,△LRE是等腰三角形;当t=4s,或t=8s或s或s时,△LRE是等腰三角形.
考点;四边形综合题.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,AB=5,射线AX垂直于AC,点A为垂足,一条长度为5的线段PQ的两个端点P、Q分别在边AC和射线AX上运动,则当AP=___________ 时,ΔABC与ΔPQA全等.
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【题目】下列语句:(1)所有整数都是正数;(2)分数是有理数;(3)所有的正数都是整数;(4)在有理数中,除了负数就是正数,其中正确的语句个数有( ).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】经过以下一组点可以画出函数y=2x图象的是()
A. (0,0)和(2,1) B. (0,0)和(1,2)
C. (1,2)和(2,1) D. (-1,2)和(1,2)
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【题目】书店举行购书优惠活动: ①一次性购书不超过100元,不享受打折优惠;
②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折;
③一次性购书超过200元一律打七折.
小丽在这次活动中,两次购书总共付款229.4元,第二次购书原价是第一次购书原价的3倍,那么小丽这两次购书原价的总和是元.
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【题目】阅读发现:(1)如图①,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,AB=BC=3,BD=BE=1,连结CD,AE.易证:△BCD≌△BAE.(不需要证明)
提出问题:(2)在(1)的条件下,当BD∥AE时,延长CD交AE于点F,如图②,求AF的长.
解决问题:(3)如图③,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠DEB=30°,连结CD,AE.当∠BAE=45°时,点E到AB的距离EF的长为2,求线段CD的长为 .
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