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【题目】如图,四边形ABCD为矩形,AC为对角线,AB=6,BC=8,点M是AD的中点,P、Q两点同时从点M出发,点P沿射线MA向右运动;点Q沿线段MD先向左运动至点D后,再向右运动到点M停止,点P随之停止运动.P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位.以PQ为一边向上作正方形PRLQ.设点P的运动时间为t(秒),正方形PRLQ与ABC重叠部分的面积为S.

(1)当点R在线段AC上时,求出t的值.

(2)求出S与t之间的函数关系式,并直接写出取值范围.(求函数关系式时,只须写出重叠部分为三角形时的详细过程,其余情况直接写出函数关系式.)

(3)在点P、点Q运动的同时,有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动,当t为何值时,LRE是等腰三角形.请直接写出t的值或取值范围.

【答案】(1)t=

(2)S与t之间的函数关系式为:

(3)t的取值范围是4t8时,LRE是等腰三角形;当t=4s,或t=8s或s或s时,LRE是等腰三角形.

析】

试题分析:(1)根据三角形相似可得,即,解答即可;

(2)根据点P和点Q的运动情况分情况讨论解答即可;

(3)根据LRE是等腰三角形满足的条件.

试题解析:(1)当点R在线段AC上时,应该满足:

设MP为t,则PR=2t,AP=4﹣t,

可得:,即

解得:t=

(2)当时,正方形PRLQ与ABC没有重叠部分,所以重叠部分的面积为0;

时,正方形PRLQ与ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积=

时,正方形PRLQ与ABC重叠部分的面积=×(2t﹣3)2t=2t2﹣3t.

当3t4时,正方形PRLQ与ABC重叠部分的面积=×(12﹣2t)×2t=﹣2t2+12t.

当4t8时,正方形PRLQ与ABC重叠部分的面积为S=

综上所述S与t之间的函数关系式为:

(3)在点P、点Q运动的同时,有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动,

①当点E是BC的中点时,点E在LR的中垂线线上时,EL=ER.此时t=4s,LRE是等腰三角形;

当点E与点B重合时,点E在LR的中垂线线上时,EL=ER.此时t=8s,LRE是等腰三角形;

综上所述,t的取值范围是4t8;

②当EL=LR时,如图所示:

LR=2t,CF=NL=4﹣t,则EF=2t﹣4.FL=CN=6﹣2t,

则在直角EFL中,由勾股定理得到:EL2=EF2+FL2=(2t﹣4)2+(6﹣2t)2

故由EL=LR得到:EL2=LR2,即4t2=10t2﹣40t+52,

整理,得

t2﹣10t+13=0,

解得 t1=5+2(舍去),t2=5﹣2

所以当t=5﹣2(s)时,LRE是等腰三角形;

同理,当ER=LR时,

综上所述,t的取值范围是4t8时,LRE是等腰三角形;当t=4s,或t=8s或s或s时,LRE是等腰三角形.

考点;四边形综合题.

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