Question

已知在△ABC中，tan∠B=2，tan∠C=3，BC=5，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，把△ADE沿直线DE翻折，点A落在点P处，若点P到直线BC的距离为2，求DE的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图1，若点P在△ABC的内部时，根据题意结合图形求出AQ的长度，进而求出AM的长度，利用相似三角形的性质即可求出DE的长度；如图2，当点P在△ABC的外部时类比前面的解法，同理可求出DE的长度．

解答：解：如图1，当点P在△ABC的内部时，
连接AP并延长交BC于点Q，交DE于点M；
由题意得：AP⊥DE，而DE∥BC，
∴AP⊥BC，即PQ⊥BC，
∴PQ=2；
设BQ=x，CQ=y，则x+y=5；
∵tan∠B=2，tan∠C=3，
∴

AQ

x

=2，

AQ

y

=3，
∴x：y=3：2，
又∵x=y=5，
∴x=3，y=2；
∴AQ=2x=6，AP=6-2=4；
∴AM=

1

2

AP=2；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AM

AQ

，
∴DE=

2×5

6

=

5

3

，
即DE的长为

5

3

．
如图2，当点P在△ABC的外部时，
连接AP交BC于点Q，AP交DE于点M；
由图1知：
AQ=6，PQ=2，
∴AP=8，AM=

1

2

AP=4；
类比以上解法，
同理可求DE=

10

3

，
即DE的长为

10

3

．

点评：该命题以三角形为载体，以翻折变换为方法，综合考查了直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．