Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，延长CA至D点，使AD=AB．
（1）求∠D及∠DBC的度数；
（2）求tanD及tan∠DBC；
（3）用类似方法，求tan22.5°．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）由AB=AD得到∠D=∠ABD，而∠BAC=∠D+∠ABD=30°，所以∠D=15°，然后利用互余得到∠DBC=75°；
（2）设BC=x，在Rt△ABC中根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2x，AC=

3

BC=

3

x，则AD=AB=2x，DC=AD+AC=（2+

3

）x，然后根据正切易得tanD=2-

3

，tan∠DBC=2+

3

；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，延长CA至D点，使AD=AB，则∠D=22.5°，设BC=a，在△ABC等腰直角三角形中，AC=a，AB=

2

a，则AD=

2

a，
所以CD=DA+AC=（

2

+1）a，在Rt△BCD中，根据正切的定义易得tanD=

2

-1，即tan22.5=

2

-1．

解答：解：（1）∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵∠BAC=∠D+∠ABD=30°，
∴∠D=15°；
∴∠DBC=90°-∠D=75°；
（2）设BC=x，
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2x，AC=

3

BC=

3

x，
∴AD=AB=2x，
∴DC=AD+AC=（2+

3

）x，
在Rt△BCD中，
tanD=

BC

DC

=

x

(2+ 3 )x

=2-

3

，
tan∠DBC=

DC

BC

=

(2+ 3 )x

x

=2+

3

；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=45°，延长CA至D点，使AD=AB，
则∠D=22.5°，
设BC=a，
∵△ABC等腰直角三角形，
∴AC=a，AB=

2

a，
∴AD=

2

a，
∴CD=DA+AC=（

2

+1）a，
在Rt△BCD中，tanD=

BC

DC

=

x

( 2 +1)x

=

2

-1，
即tan22.5=

2

-1．

点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．