Question

【题目】如图，分别是正方形的边的中点，以为边作正方形 ，与交于点，联结．

（1）求证：；

（2）设，求证．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先说明△ADE≌△DCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定义即可证明；

（2）先证△ADE∽△ECQ，得出，进而可得△AEQ∽△ADE∽△ECQ，然后根据相似三角形的性质即可证明．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°

在△ADE和△DCF中

∴△ADE≌△DCF（SAS）

∴∠EAD=∠CDF

∵∠AED+∠EAD=90°

∴∠AED+∠CDF=90°

∴AE⊥DF；

（2）∵∠ADE=∠C，∠CEQ=∠EAD，

∴△ADE∽△ECQ

∵E是CD的中点

∴，

∵∠ADE=∠C=90°

∴△AEQ∽△ADE∽△ECQ

设CE，则AD=2a，AE=

∴，，

∴．