Question

【题目】小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题做如下探究：

（问题背景）

如图①，在四边形ADBC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系．小明同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D逆时针旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图②），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE＝CD，从而得出结论：AC+BC＝CD．

（简单应用）

（1）在图①中，若AC＝，BC＝2，则CD＝　 　．

（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，，若AB＝10，BC＝8，求CD的长．

（拓展延伸）

（3）如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若AC＝a，BC＝b（a＜b），求CD的长．（用含a，b的代数式表示）．

（4）如图⑤，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为AB的中点，若点E满足AE＝AC，CE＝CA，点Q为AE的中点，请直接写出线段PQ与AC的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）7；（3）CD＝；（4）线段PQ与AC的数量关系是或．

【解析】

（1）由题意可知：AC+BC=CD，所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度；

（2）连接AC、BD、AD即可将问题转化为第（1）问的问题，利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，由（2）问题可知：AC+BC=CD1；又因为CD1=D1D，所以利用勾股定理即可求出CD的长度；

（4）根据题意可知：点E的位置有两种，分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、CP后，利用（2）和（3）问的结论进行解答．

（1）由题意可得：AC+BC＝CD，

∵，

∴，

∴；

（2）连接AC、BD、AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ACB＝90°，

∵AD＝BD，

将△BCD绕点D顺时针旋转90°到△AED处，如图③，

∴∠EAD＝∠DBC，

∵∠DBC+∠DAC＝180°，

∴∠EAD+∠DAC＝180°，

∴E、A、C三点共线，

∵AB＝10，BC＝8，

∴由勾股定理可求得：AC＝6，

∵BC＝AE，

∴CE＝AE+AC＝14，

∵∠EDA＝∠CDB，

∴∠EDA+∠ADC＝∠CDB+∠ADC，

即∠EDC＝∠ADB＝90°，

∵CD＝ED，

∴△EDC是等腰直角三角形，

∴CE＝CD，

∴CD＝7；

（3）以AB为直径作⊙O，连接OD并延长交⊙O于点D1，

连接D1A，D1B，D1C，如图④

由（2）的证明过程可知：AC+BC＝D1C，

∴，

又∵D1D是⊙O的直径，

∴∠DCD1＝90°，

∵AC＝a，BC＝b，

∴由勾股定理可求得：AB2＝a2+b2，

∴D1D2＝AB2＝a2+b2，

∵D1C2+CD2＝D1D2，

∴CD2＝a2+b2﹣，

∵a＜b，

∴；

（4）当点E在直线AC的左侧时，如图⑤，

连接CQ，PC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

点P是AB的中点，

∴AP＝CP，∠APC＝90°，

又∵CA＝CE，点Q是AE的中点，

∴∠CQA＝90°，

设AC＝a，

∵AE＝，

∴，

∴，

由勾股定理可求得：，

由（2）的证明过程可知：AQ+CQ＝PQ，

∴，

∴，

当点E在直线AC的右侧时，如图⑥，

连接CQ、CP，

同理可知：∠AQC＝∠APC＝90°，

设AC＝a，

∴，

由勾股定理可求得：，

由（3）的结论可知：，

∴，

综上所述，线段PQ与AC的数量关系是或．