Question

【题目】如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF为斜边上的高，在射线AB上有点D，连接DF，作∠DFE＝90°，FE交射线BC于点E．

（问题发现）如图1所示，如果AB＝CB，则DF与EF的数量关系为DF　 　EF（选填＞，＜，＝）

（类比探究）如图2所示，如果改变Rt△ABC中两直角边的比例，使得AB＝2BC，则DF与EF还存在①中的关系吗？

（拓展延伸）如图3所示，在Rt△ABC中，如果已知BC＝，AB＝3，EF＝，试求BD的长．

Answer 1

【答案】【问题发现】：＝；【类比探究】：不存在①中的关系，关系为：DF＝2EF；【拓展延伸】：BD＝.

【解析】

问题发现：如图1，证明△ADF≌△BEF（SAS），得DF＝EF；

类比探究：如图2所示，证明△ADF∽△BEF，得，则，可得结论；

拓展延伸：如图3，连接DE，设CE＝a，根据勾股定理列等式：，解方程可得结论．

解：问题发现:

DF与EF的数量关系为DF＝EF，理由是：

如图1，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵BF⊥AC，

∴AF＝CF＝BF，∠ABF＝∠CBF＝45°，

∵∠AFD+∠BFD＝∠BFD+∠BFE＝90°，

∴∠AFD＝∠BFE，

在△ADF和△BEF中，

∵，

∴△ADF≌△BEF（SAS），

∴DF＝EF，

类比探究:

不存在①中的关系，关系为：DF＝2EF，

理由是：如图2所示，∵∠A+∠ABF＝∠A+∠C＝90°，

∴∠ABF＝∠C，

∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AFB，

∴，

∴，

∵∠A+∠ABF＝∠ABF+∠CBF＝90°，

∴∠A＝∠CBF，

∵∠AFD+∠BFD＝∠BFD+∠BFE＝90°，

∴∠AFD＝∠BFE，

在△ADF和△BEF中，

∵，

∴△ADF∽△BEF，

∴，

∵，AB＝2BC，

∴，

∴DF＝2EF；

拓展延伸：

连接DE，设CE＝a，

由以上结论可知： ,

∵EF＝，CE＝a，

∴BD＝，DF＝，

在Rt△DBE中，∠DBE＝90°，得BD2+BE2＝DE2，

在Rt△DFE中，∠DFE＝90°，得DF2+EF2＝DE2，

∴BD2+BE2＝DF2+EF2，

即，

整理得：，

解得：a1＝，a2＝（舍），

∴BD＝．