Question

15．已知CA、CD是⊙O的两条切线，A、D为切点，AB是⊙O的直径，BM∥CD交⊙O于M，AB=8．
（1）如图1，点M在OC上，CM=3，求cos∠ABM的值；
（2）如图2，点M不在OC上，AB=AC，求cos∠ABM的值．

Answer 1

分析 （1）由BM∥CD，得到∠DCM=∠BMO，又因为CA、CD是⊙O的两条切线，得到∠DCO=∠ACO，根据OB=OM，求出∠ABM=∠OMB，证得∠ACO=∠ABM，即可得出结果；
（2）如图，作辅助线，证明△CAG≌△ABM，得AM=CG；运用切线的性质及勾股定理即可解决问题．

解答 解：（1）∵BM∥CD，
∴∠DCM=∠BMO，
∵CA、CD是⊙O的两条切线，
∴∠DCO=∠ACO，
∵OB=OM，
∴∠ABM=∠OMB，
∴∠ACO=∠ABM，
∵AB=8，
∴AO=OM=4，
∴AC=$\sqrt{{7}^{2}{-4}^{2}}$=$\sqrt{33}$，
∴cos∠ABM=cos∠ACO=$\frac{\sqrt{33}}{7}$；

（2）如图，连接AM并延长AM交CD于点G，连接OD，交BM于点F；
∵AB⊙O的直径，CD为⊙O的切线，
∴AM⊥BM，CD⊥OD；
又∵CD∥BM，
∴CD⊥AG，OD⊥BM；
∴四边形MFDG为矩形，MF=DG；
∴OF∥AM，而OA=OB，
∴BF=MF；
∵∠C+∠CAG=∠CAG+∠MAB=90°，
∴∠C=∠MAB；
在△CAG与△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠MAB}\\{∠CGA=∠AMB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CAG≌△ABM（AAS），
∴CG=AM（设为x），AG=BM；
∵CA、CD分别为⊙O的切线，
∴CA=CD=8，DG=8-x，
∴MF=DG=8-x；
∴BM=2MF=16-2x；
由勾股定理得：
8²=x²+（16-2x）²，
整理得：5x²-64x+192=0，
解得：x=$\frac{24}{5}$或8（舍去），
∴BM=16-2x=$\frac{32}{5}$，
∴cos∠ABM=$\frac{BM}{AB}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质及其应用，平行线的判定、勾股定理的应用全等三角形的判定与性质，矩形的性质，灵活运用有关定理来解题是关键．